Mediana - jest to wartosc srodkowa zbioru liczb np. (5,3,2,6,4) to Mediana jest liczba 2
Wartosc minimalna - jest to najmniejsza wartosc w zbiorze
Wartosc maksymalna - jest to najwieksza wartosc w zbiorze
poniedziałek, 14 stycznia 2013
niedziela, 13 stycznia 2013
Wektory i własności własne
Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej
przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako
wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przyłożeniu do niego
endomorfizmu; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala
podobieństwa tych wektorów.
Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.
Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.
Prawdopodobieństwo warunkowe
W wielu przypadkach, informacja o zajściu zdarzenia B ma pewien wpływ na
wartość obliczonego prawdopodobieństwa zdarzenia A. Zdarzenie
polegające na zajściu zdarzenia A przy założeniu, że zaszło zdarzenie B,
oznaczamy symbolem A|B, prawdopodobieństwo tego zdarzenia P(A|B)
nazywamy prawdopodobieństem warunkowym
Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zdarzenie B zajdzie, nazywamy liczbę
P(A|B)=P(A∩B) / P(B)
gdzie A, B ⊂ Ω, P(B) > 0.
Z definicje tej wynika, że P(A|B) ≥ 0, P(B|B) = 1, oraz dla każdej pary wykluczających się zdarzeń A, C ⊂ B
P(A ∪ C|B) = P(A|B) + P(C|B)
Zatem funkcja przyporządkowująca każdemu zdarzeniu A ⊂ B liczbę P(A|B) jest prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach w zbiorze B.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:
Jeżeli A, B ⊂ Ω, P(B) > 0, to P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zdarzenie B zajdzie, nazywamy liczbę
P(A|B)=P(A∩B) / P(B)
gdzie A, B ⊂ Ω, P(B) > 0.
Z definicje tej wynika, że P(A|B) ≥ 0, P(B|B) = 1, oraz dla każdej pary wykluczających się zdarzeń A, C ⊂ B
P(A ∪ C|B) = P(A|B) + P(C|B)
Zatem funkcja przyporządkowująca każdemu zdarzeniu A ⊂ B liczbę P(A|B) jest prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach w zbiorze B.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:
Jeżeli A, B ⊂ Ω, P(B) > 0, to P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
Wielkie układy równań liniowych
Wielkie układy równań liniowych
Wraz z coraz większymi modelami pojawiającymi się w praktyce obliczeniowej, coraz częściej zachodzi potrzeba rozwiązywania zadań algebry liniowej, w której macierze są co prawda wielkiego wymiaru, ale najczęściej rozrzedzone, to znaczy jest w nich bardzo dużo zer. Bardzo często zdarza się, że macierz wymiaru N ma tylko O(N) niezerowych elementów. Wykorzytanie tej specyficznej własności macierzy nie tylko prowadzi do algorytmów istotnie szybszych od ich analogów dla macierzy gęstych (to znaczy takich, które (w założeniu) mają N^2 elementów), ale wręcz są jedynym sposobem na to, by niektóre zadania w ogóle stały się rozwiązywalne przy obecnym stanie techniki obliczeniowej!
Jednym ze szczególnie ważnych źródeł układów równań z macierzami rozrzedzonymi są np. równania różniczkowe cząstkowe (a więc np. modele pogody, naprężeń w konstrukcji samochodu, przenikania kosmetyków do głębszych warstw skóry, itp.).
Modele wielostanowych systemów kolejkowych (np. routera obsługującego wiele komputerów) także prowadzą do gigantycznych układów równań z macierzami rozrzedzonymi o specyficznej strukturze.
Z reguły zadania liniowe wielkiego wymiaru będą miały strukturę macierzy rozrzedzonej, gdyż najczęściej związki pomiędzy niewiadomymi w równaniu nie dotyczą wszystkich, tylko wybranej grupy.
Przykład: Macierz z kolekcji Boeinga
Spójrzmy na macierz sztywności dla modelu silnika lotniczego, wygenerowaną swego czasu w zakładach Boeinga i pochodzącą z dyskretyzacji pewnego równania różniczkowego cząstkowego. Pochodzi z kolekcji Tima Davisa. Jest to mała macierz, wymiaru 8032 (w kolekcji spotkasz równania z milionem i więcej niewiadomych).
Wraz z coraz większymi modelami pojawiającymi się w praktyce obliczeniowej, coraz częściej zachodzi potrzeba rozwiązywania zadań algebry liniowej, w której macierze są co prawda wielkiego wymiaru, ale najczęściej rozrzedzone, to znaczy jest w nich bardzo dużo zer. Bardzo często zdarza się, że macierz wymiaru N ma tylko O(N) niezerowych elementów. Wykorzytanie tej specyficznej własności macierzy nie tylko prowadzi do algorytmów istotnie szybszych od ich analogów dla macierzy gęstych (to znaczy takich, które (w założeniu) mają N^2 elementów), ale wręcz są jedynym sposobem na to, by niektóre zadania w ogóle stały się rozwiązywalne przy obecnym stanie techniki obliczeniowej!
Jednym ze szczególnie ważnych źródeł układów równań z macierzami rozrzedzonymi są np. równania różniczkowe cząstkowe (a więc np. modele pogody, naprężeń w konstrukcji samochodu, przenikania kosmetyków do głębszych warstw skóry, itp.).
Modele wielostanowych systemów kolejkowych (np. routera obsługującego wiele komputerów) także prowadzą do gigantycznych układów równań z macierzami rozrzedzonymi o specyficznej strukturze.
Z reguły zadania liniowe wielkiego wymiaru będą miały strukturę macierzy rozrzedzonej, gdyż najczęściej związki pomiędzy niewiadomymi w równaniu nie dotyczą wszystkich, tylko wybranej grupy.
Przykład: Macierz z kolekcji Boeinga
Spójrzmy na macierz sztywności dla modelu silnika lotniczego, wygenerowaną swego czasu w zakładach Boeinga i pochodzącą z dyskretyzacji pewnego równania różniczkowego cząstkowego. Pochodzi z kolekcji Tima Davisa. Jest to mała macierz, wymiaru 8032 (w kolekcji spotkasz równania z milionem i więcej niewiadomych).
Subskrybuj:
Posty (Atom)